基本不等式的证明

【学习目标】

1. 了解两个正数的算术平均数与几何平均数的概念，探索并理解基本不等式的证明过程．

2. 理解基本不等式的几何意义，并能够应用基本不等式进行简单证明和比较大小．

3. 会运用基本不等式求某些代数式的最值．

【学习历程】

任务一：数学建构

(一) 生成概念

问题1　把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a.如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同(其他因素不计)，那么a并非物体的实际质量．不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘上，此时称得物体的质量为b.如何合理地表示物体的质量呢？

问题2　对于正数a, b，我们把2(a＋b)称为a, b的算术平均数，称为a, b的几何平均数，那么两个正数a, b的算术平均数与几何平均数之间具有怎样的大小关系？

问题3　如何给予严密的证明？有什么证明方法？

任务二：理解概念

1. 基本不等式成立的条件：a, b是正数．(当a≥0, b≥0时，这个不等式仍然成立)

2. 基本不等式证明的方法：比较法、分析法、综合法．

3. 从图形上理解基本不等式：如图5，以a＋b为直径作圆，在直径AB上取点C(使得AC＝a, BC＝b)，过点C作弦DD′⊥AB，则CD²＝CA·CB＝ab，从而CD＝，而半径2(a＋b)≥CD＝.基本不等式≤2(a＋b)的几何意义是“半径不小于半弦”．

(图5)

4. 当且仅当a＝b时取“＝”的含义：一方面是当a＝b时取“＝”，即a＝b?＝2(a＋b)；另一方面是仅当a＝b时取“＝”，即＝2(a＋b)?a＝b.

5. 在数学中，我们称2(a＋b)为a, b的算术平均数，称为a, b的几何平均数．基本不等式还可以叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

6. 通过基本不等式还可以推得：

(1) 如果a, b是正数，那么a＋b≥2(当且仅当a＝b时取“＝”)；

(2) 如果a, b∈R，那么a²＋b²≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．

任务三：数学运用

　设a, b均为正数，证明下列不等式成立：

(1) a(b)＋b(a)≥2；              (2) a(1)b(1)≥4.

跟踪小练

1. (多选)若a, b∈R，且ab>0，则下列不等式中不一定成立的是(   )

A. a²＋b²>2ab  B. a＋b≥2

C. a(1)＋b(1)>ab(2)  D. a(b)＋b(a)≥2

2. 已知a, b都是正数，且a＋b＝1，求证：＋≤.

　已知a, b, c为两两不相等的实数，求证：a²＋b²＋c²>ab＋bc＋ca.

跟踪小练

1. 已知a, b, c都是正数，求证：(a＋b)(b＋c)·(c＋a)≥8abc.

2. 已知a, b, c都是正数，求证：a(b＋c)＋b(c＋a)＋c(a＋b)≥6.

　已知x＞3，求y＝x＋x－3(1)的最小值．

跟踪小练

1. 已知y＝x＋x＋1(9)(x＜－1)，当x＝     时，y有最__ __值，为      .

2. (多选)下列式子中y的最小值为2的是(     )

A. y＝x(1)＋x B. y＝x2＋2(2)＋2(x2＋2)

C. y＝x(2－x) D. y＝x－1(x2－2x＋2)(x>1)

【作业评价】